안드로이드 앱을 강제로 업데이트 시키는 방법은 존재하지 않습니다. 구글 개발자 콘솔에도 그런 기능은 제공되지 않고요. 사용자가 해당 앱에 대해서 자동 업데이트를 활성화 한 경우에는 백그라운드로 업데이트가 되지만 그렇지 않은 경우는 사용자가 플레이스토어에서 직접 업데이트를 해야합니다. (참고로 자동 업데이트가 활성화 된 경우에도 앱에 새로운 권한 그룹이 추가되면 자동 업데이트가 되지 않습니다.)

푸시를 보내거나 앱을 실행 했을 때, 새로운 버전에 대한 업데이트 안내 후 플레이스토어로 이동시키는게 적절한 대안일 것 같습니다. 이 방법도 사전에 서버에서 제어할 수 있도록 작업되어 있어야 합니다.