1, 2, 3, 4 에 대한 매핑이 존재하고, 매핑 후의 결과를 join 하려는 거잖아요.

>>> l = [ 1, 2, 3, 4 ]
>>> map_table = { 1:"1", 2:"2", 3:"a", 4:"b" }
>>> mapped = [ map_table[e] for e in l ]
>>> mapped
['1', '2', 'a', 'b']
>>> ''.join(mapped)
'12ab'
>>> 
>>> 
>>> def map_join(l: list):
    return ''.join(map_table[e] for e in l)

>>> map_join([1,2,3,4])
'12ab'
>>> map_join([2,3,1,2])
'2a12'
>>> map_join([1,1,1,1])
'1111'
>>> 

정확히 어떤 것을 원하시는 건지는 잘 모르겠는데.. 일단 질문 내용의 경우 다음과 같이 구현할 수 있습니다.

list1 = [1, 2, 3, 4]

a = ''
for i in list1:
    if i == 1:
        a += '1'
    elif i == 2:
        a += '2'
    elif i == 3:
        a += 'a'
    elif i == 4:
        a += 'b'

print(a)
>> '12ab'

또는

list1 = [1, 2, 3, 4]
dict1 = {1:'1', 2:'2', 3:'a', 4:'b'}

a = ''
for i in list1:
    a += dict1[i]

print(a)
>> '12ab'